Оптимальная игра в тотализаторе

[DimOK]

Дано: тотализатор на N исходов, с общим пулом Z и распределением d1...dN. Известны вероятности выигрыша каждого из исходов p1...pN.
Нужна формула расчёта, сколько и на какие исходы нужно поставить (значения b1...bN), чтобы максимизировать выигрыш, предполагая, что других ставок после нас не будет.

На всякий случай очевидное: d1 + d2 + ... + dN = 1, p1 + p2 + ... + pN = 1, выигрывает только один исход, ваша выплата равна Z * b / t, где Z это размер пула, b - размер вашей ставки на выигрышный исход, t - общий размер ставок на выигрышный исход.

Например при N = 2, Z = 100, d1 = 0.6, d2 = 0.4 пул выглядит как 60 на первом исходе, 40 на втором исходе. При p1 = 0.55 и p2 = 0.45 при значениях b1 = 0, b2 = 1 у нас будет положительное матожидание, расчёты опущу.

Завтра буду формулу считать, там не очень сложно, кажется, может быть кому-то ещё будет интересно.

[DimOK]

Ну, вообще ничего сложного, если считать для одного исхода, берём вероятность, выплату, производную и всё достаточно легко.
Единственный вопрос - можно ли считать разные исходы независимыми друг от друга, то есть посчитать ставку на первый исход, второй, третий и все их пробить.
Очень хотелось бы, чтобы было можно, плюс мы считаем цифры для одного исхода, а потом принесём ещё на другие, то есть для каждого конкретного исхода должно быть не хуже, а лучше, пусть может быть немного и отклоняясь от оптимального значения.

Но пока уверенности, что при подобных расчётах можно считать ставки независимыми, нет. Они же зависимые, это же общий пул...

Вот допустим у нас три исхода, на первый поставлено 2 монетки, на второй и третий по одной. Вероятность выигрыша 35-33-32, допустим. Умом понятно, что нужно ставить на второй и третий, они недогружены. А сколько ставить и как посчитать?

[DimOK]

Таких штук напридумывали, конечно...
Вот формула прибыли для одного исхода, от неём берём производную для максимизации этой самой прибыли.

a - вероятность, b - общий пул, c - чужая ставка на исход, х - наша ставка на исход
https://www.wolframalpha.com/input?i=-1+%2B+(a+(b+c+%2B+x+(2+c+%2B+x)))%2F(c+%2B+x)^2+%3D0
А вот посчитаны решения параметрические волшебной машинкой, бери и подставляй.

[DimOK]

Пусть у нас шансы 50-50, а распределение пула 70-30.
Мы хотим нажить, сколько надо поставить?
Есть волшебная формула... она посчитала, что поставить надо 15.83.
А дальше вот так...

Good probability: 50.0%, distribution 30 tokens, odds 3.333
Bad probability: 50.0%, distribution 70 tokens, odds 1.429

Want to bet 15.83 tokens on all good outcomes, odds 2.528, EV 26.38%, moneyEV 4.17
Smaller bet 14.24, odds 2.582, EV 29.11%, moneyEV 4.15
Larger bet 17.41, odds 2.477, EV 23.83%, moneyEV 4.15

то есть если мы поставим больше 15,83 единиц, то кеф слишком снизится, ожидание в деньгах будет меньше оптимального
если мы поставим меньше 15.83 единиц, то мы снизим ставку, хотя и будет больше кеф, ожидание вденьгах будет меньше оптимального

то есть 15.83 - это правильный ответ, но валуй остаётся (!)
и второй человек, который смотрит на рынок после нас, а рынок с теми же шансами 50-50, а распределение уже 70-46
он ТОЖЕ видит валуй во втором исходе, и тоже на него ставит
но меньший валуй, конечно, ставка примерно 10 единиц и перевес намного ниже.
а потом, когда этот второй забрал меньший валуй
мы видим изменившуюся картину, пересчитываем и тоже меньше хотим ставить, так как ситуация изменилась
короче дурдом, вообще на ставки не похоже, совершенно другая парадигма

[DimOK]

Фактически у букмекера мы делаем ставку, которую нельзя менять и за это получаем фиксированный коэффициент на момент ставки, это привычно.
В тотализаторе мы не знаем, какой коэффициент будет, но при этом можем реагировать, изменяя свою позицию при изменении позиции других игроков, в итоге пул должен приходить в какое-то равновесное положение, причём это положение зависит от каждого игрока. Если все имеют одинаковые оценки вероятностей и играют идеально - равновесным будет положение соответствующее вероятностям, это понятно. Но если хотя бы один участник просто поставил в пул обычную ставку - то равновесным будет другое положение, очевидно.

В примере выше ни один рациональный игрок не будет ставить 40 токенов на второй исход, чтобы сделать распределение 70-70, как по вероятностям, он тогда ничего не получит, поедет кеф 2 с вероятностью 50%. Он будет ставить меньше, опять же, пример показывает, что намного меньше максимально неубыточной ставки (для всех ставок на второй коэффициент меньше 40 всё ещё будет перевес), но следом за ним другой игрок тоже захочет поставить... до тех пор, видимо, пока норма прибыли не станет слишком низкой...

Сложно, но интересно.

[Vasya]

У меня сломался мозг от тотализатора с одним событием и двумя исходами :)
15.83 ставить куда? Если поставить на один исход - это будет не 15.83 - а 100% ставки.
Или речь об общей сумме ставки в зависимости от пула и его распределения? При пуле 100 единиц, нужно ставить 15.83 (т.е. 15.83% от пула), там где поставлено 30? А где 70 вообще ничего не ставить?

[cmar]

когда начинал, увидел в максбете кеф 1.35 кажется на петрову и грузанул максималку, он резко упал, вроде до 1.15 и тут допер, что это тотошка, доехал, но с тото завязал

[Vasya]

Тоже тотоха с кэфами из одного события и двух исходов, как и в примере Димка? :)

[cmar]

пжл, мне не ломай, там вроде доставили чуть в обратку, но шок не прошел

[Ботинок]

ребят, время поверхностных вопросов. а если находишься в США (марафон не обслуживает штаты) и лудишь тото грубо пользуясь ВПН. В случае доезда этого достаточно чтобы не выплатить? стоит пользоваться впн более изящно или вообще это очень плохая идея возможность лишь сделать премию для СБ марафона?

[Имя пользователя]

@Ботинок если умеете до такой степени изящно пользоваться средством анонимизации, то можно, но насколько мне известно впн не входит в безопасные средства анонимизации для ставок в бк.

Коротко, желательно иметь статический айпи, и чтобы букмекер не видел что вы пытаетесь скрыть своё местонахождение.

Такая защита стоит, если я правильно знаю/помню ~100$/мес. На такую цифру примерно нужно ориентироваться. Остальное что есть, прокси и т.п. очень повышают риск быть пойманым. А так как сумма будет большая при выигрыше джека, то проверять будут всё, а если ещё и палево будет что скрывался, то ещё тщательнее.

Процентов 5-10 на выплату есть имхо, если юзать просто ВПНы, прокси. Раньше в марафоне очень сильный антифрод был. Скорее всего таким он и остался.

А, ну если руки очень ровные у вас и сами умеете скрываться, то можно обойтись и без абонплат 100$/мес, имхо.

[DimOK]

Пользователь @Ботинок написал в Оптимальная игра в тотализаторе:

В случае доезда этого достаточно чтобы не выплатить

Более чем, вам надо VNC сервер за пять евро в месяц в России или там Европе установить и лудить на здоровье, тогда не докопаются.

Играть с запрещенных территорий нехорошо, за это регуляторы обижают букмекеров, а букмекеры, соответственно, клиентов.

[Chris-P]

VNC сервер так же палится, как и VPN, антифродами БК. Если у конторы красный флаг, не платить работающим под анонимайзерами, это не поможет.
Весной пробовал упомянутые бюджетные варианты и наблюдалась такая картина:

[DimOK]

Да, но здесь другой вопрос: нет никакой большой проблемы в том, что вы выиграли джек-пот в тотализаторе используя личный сервер, на котором у вас настроена рабочая среда. Почему бы и нет, на самом деле.

А вот если вы пытались скрыть своё месторасположение проксей или впном - то уже некрасиво получается.

Хотя по сути - одно и то же, но важна история, почему это вы не домашним интернетом пользовались.

[Ботинок]

Рассказал все Кириллу из поддержки как есть, он сказал что могу летать с впн по бездорожью пока патроны не закончатся. Осталось доехать теперь

[DimOK]

Опять нужна формула... но при этом для всех исходов сразу.

Условия такие же, тотализатор, после наших ставок других ставок не будет.

1. Есть матч, в котором N исходов, выигрывает только один.
2. Даны вероятности каждого исхода p1..pN, где сумма всех вероятностей равна 1, а каждая вероятность больше либо равна нулю.
3. Даны суммы ставок других игроков на каждый из исходов, b1...bN, где сумма ставок равна B, а каждая ставка больше либо равна нулю.
4. Необходимо найти наши оптимальные ставки на каждый исход s1...sN, где сумма наших ставок равна S, при этом S ограничено сверху и снизу значениями Smin и Smax.

Выплата, соответственно, равна sN * (S + B) / (sN + bN), а ожидание выплаты равно pN * sN * (S + B) / (sN + bN). Нам нужно максимизировать сумму ожиданий.

Нужна либо формула, либо программка, которая считает значения s1...sN, при которых сумма ожиданий максимальна

[DimOK]

Короче штука очень интересная.

В ситуации, когда на один исход поставлено ноль, а на другой сколько-то, оптимальным будет бесконечно малая ставка на ноль, так как мы рискуем бесконечно малым, а получаем в случае успеха всё.

При этом следующая итерация, когда на один исход поставлено бесконечно мало, а на другой сколько-то, будет увеличение ставки на один исход.

В общем случае, сама задача поставлена неверно, ведь на самом деле после нас будут ставки. Предполагая, что наш оппонент точно так же действует оптимально, то мы будем реагировать на его ставки, а он на наши и в конце-концов наши ставки станут равными нашим оценкам вероятностей, у каждого своя.

А сама задача сводится к системе линейных уравнений, которая давно уже прорешена в общем виде, хочешь по Гауссу, хочешь по Крамеру, машинок понаписано уйма... Так что задача интересная, но банальная и в практическом смысле не очень полезная, вот так вот.

[kava]

Ответ Chat GPT:

Для решения данной задачи оптимизации мы можем воспользоваться методом Лагранжа. Нам нужно максимизировать сумму ожиданий при ограничениях на сумму ставок и нашу ожидаемую выплату. Сформулируем задачу оптимизации следующим образом:

Максимизировать функцию L(s1, s2, ..., sN, λ, μ) = Σ(pi * si * (S + B) / (si + bi)) - λ(S - Smin) - μ(Smax - S)

где

L(s1, s2, ..., sN, λ, μ) - функция Лагранжа
pi - вероятность исхода i
si - наша ставка на исход i
bi - ставка других игроков на исход i
S - сумма наших ставок
B - сумма ставок других игроков
λ и μ - множители Лагранжа
Smin и Smax - ограничения на сумму наших ставок
Для нахождения оптимальных значений s1, s2, ..., sN, λ и μ, мы можем взять частные производные функции Лагранжа по переменным si, λ и μ и приравнять их к нулю:

∂L/∂si = 0, для всех i = 1, 2, ..., N
∂L/∂λ = 0
∂L/∂μ = 0

Первое условие приведет к оптимальным значениям si, а второе и третье условия позволят нам найти значения λ и μ.

Давайте выполним частные производные по каждой переменной:

Частная производная по si:
∂L/∂si = (pi * (S + B) * (bi - si)) / (si + bi)^2 = 0
Решив это уравнение для каждого i, мы найдем оптимальные значения si.

Частная производная по λ:
∂L/∂λ = S - Smin = 0
Это уравнение позволит нам найти значение λ.

Частная производная по μ:
∂L/∂μ = Smax - S = 0
Это уравнение позволит нам найти значение μ.

После нахождения оптимальных значений si, λ и μ, мы сможем определить оптимальные ставки на каждый исход, удовлетворяя ограничениям на сумму ставок и максимизируя сумму ожиданий выплаты.